提要：邏輯常項是各種邏輯系統研究的核心，使用合適的方式表示邏輯常項，可以為邏輯研究提供良好的技術工具和清晰的呈現方式。根據邏輯常項符號表示法的產生和發展歷程，可以將其歸納為三種形態：自然語言表示法、符號表示法和形式化表示法。邏輯常項表示法的變遷，不僅決定著邏輯形態的呈現形式，而且決定著邏輯研究的持續和深入發展。中置法和前置法是國際邏輯學界通行的兩種主要的邏輯常項表示法，與之不同，作者受舍弗（H. M. Sheffer）函數和張清宇先生相關工作的啟發，提出了一種新的邏輯常項表示法——括號表示法。在該表示法中，表示邏輯常項的符號只有一對左右括號。作者闡明在任意給定的邏輯系統中，只要使用一對括號就可以定義出該系統的所有邏輯常項，彰顯了括號表示法強大的歸約功能和表達功能。作者還證明了括號表示法其形式語言表達的唯一性。在此基礎上，作者闡明：比起中置法，括號表示法表達更簡潔；比起波蘭表示法，括號表示法表達更清晰。括號表示法是一種整體表示法，是由中國學者提出并系統構建的符號表示法，因此也可以稱為中國式表示法。

邏輯學是研究推理有效性的學問。在具體的邏輯系統中，推理的有效性又集中體現于邏輯常項的推理有效性，因之，邏輯常項是邏輯研究的核心。使用恰當的符號表示邏輯常項，可以為邏輯研究提供良好的技術工具和清晰的呈現方式。如何創新邏輯常項的符號表示法，為邏輯研究提供更加多元、更加適用的工具是邏輯研究的重要課題之一。本文擬在簡要歸納分析不同形態邏輯表示法的基礎上，提出一種僅僅使用一對括號就可以表達所有邏輯常項的符號表示法，揭示其與中置法和前置法的表達差異，并闡明其強大的表達功能和基本表達特征。

一、邏輯研究的核心對象

不同邏輯系統研究不同范圍內的邏輯。亞里士多德的詞項邏輯主要研究簡單性質命題之間的推理關系，命題邏輯主要研究以命題為基本單位的若干命題之間的推理關系，謂詞邏輯則主要研究以個體詞和謂詞為對象的各種量詞之間的推理關系。

根據范圍的不同，現代邏輯研究一般首先要創制足以表達該范圍內研究對象的符號，即構建形式語言。在命題邏輯中，需要三類基本的符號：一類是表達各種不同命題的符號，通常用小寫字母加下標的形式表示，如p1、p2等等；一類是描述諸命題之間聯系的符號，即命題聯接詞符號，如否定符號┐、蘊涵符號→等等；一類是確定命題之間結合先后順序的輔助性符號，如左右括號( )等等。

在一階謂詞邏輯中，為了足以表達命題內部結構的諸對象，一般需要如下幾組符號：

1.表達命題內部結構的符號。(1)表達個體對象的符號；(2)表達個體對象性質或者諸個體對象之間關系的符號；(3)表達具有某種性質或者關系的諸對象范圍的符號，即量詞符號。

2.表達諸命題之間聯系的命題聯接詞符號。

3.表達命題間聯系之先后順序的符號。

由命題邏輯和一階謂詞邏輯可以看出，形式語言實際上主要包括三類符號，第一類是描述研究范圍內特定語言對象的符號，如命題邏輯中的命題符號、一階謂詞邏輯中的個體對象符號和謂詞符號等；第二類是描述特定范圍內具有推理屬性的符號，如命題邏輯中的各種命題聯接詞符號、謂詞邏輯中的量詞符號、模態邏輯中的模態詞符號等；第三類是其他輔助性符號，如描述命題之間結合先后順序的符號（通常使用各種括號表示）、個體詞之間的間隔符號（通常使用逗號等表示）等。第一類符號主要是描述特定范圍內的研究對象，第二類符號描述的是特定范圍內具有推理功能的邏輯對象。不難看出，真正表達各種推理功能的是第二類符號，即通常所說的邏輯常項。所以，邏輯常項是不同邏輯系統的形式語言所要表達的關鍵對象。

邏輯研究的核心是推理，不同的邏輯系統研究的是不同邏輯常項的推理結構和推理功能。因此，具體到各種邏輯系統之中，實際上邏輯常項是邏輯研究的核心對象。

二、符號表示法及其發展

由于邏輯常項在邏輯研究中的核心地位，邏輯常項符號表示法的發展伴隨著邏輯學發展的始終，并在根本上影響著邏輯學的最終樣態。這是因為恰當的符號表示法可以方便我們以一種更加明晰的方式、更有效率地表達邏輯思想，并進而構建推理工具。

邏輯常項符號表示法的產生和發展我們可以將其歸納為三種形態：

第一種形態：自然語言表示法

邏輯常項的最初表達是使用自然語言表示的。

古希臘時期的亞里士多德在《前分析篇》中就使用如下語言表達常用的4種命題：

(1) A belongs to every B；

(2) A not belong to any B；

(3) A belongs to some B；

(4) A not belong to some B。

其中，大寫字母A、B分別表示命題的主項和謂項，而“belongs to every”“not belong to any”“belongs to some”“not belong to some”則分別表示“都是”“都不是”“至少有些是”“并非都是”等4種邏輯常項。(參見張家龍，第318頁；亞里士多德,第62頁；cf.Barnes, 1995. p.4, 6, 24)

麥加拉-斯多葛學派深入地研究了命題邏輯，他們通過公理或推理規則研究了“否定”“不相容析取”“蘊涵”等的推理規律。他們對于邏輯常項同樣是使用自然語言來表述的。如他們對“否定”“合取”“析取”“蘊涵”等分別用自然語言“并非”“并且”“或者”“如果”等來表述。（cf.Mates, pp.29-182）中世紀的邏輯教科書中，一般也使用符號“和(et)”“或(vel)”“如果(si)”等來表示合取、析取和條件關系。（cf. Bonevac and Dever, pp.175-233; De Rijk, pp.159-191）

中國先秦時期的墨家研究“名”“辭”“說”之辯學，他們對于邏輯常項也是使用自然語言來表達的。他們使用“或”來表示邏輯常項“部分是，但不全是”（“或也者，不盡也”），如《小取》中“馬或白者，二馬而或白也，非一馬而或白”。（孫詒讓，第421頁）他們使用“且”表達通常的時態關系“即將”，如《小取》中“且斗雞，非雞也；……且入井，非入井也；止且入井，止入井也”。（同上，第419頁）另外還有“假”等其他常項。

使用自然語言來表達邏輯常項，其最大優勢是直觀、容易理解。但是也存在缺陷，一是自然語言有歧義、含糊不清，二是作為研究對象的語言和用來研究的元語言混合在一起。

第二種形態：符號表示法

對于前述亞里士多德研究的四種命題，中世紀的威廉·謝爾沃德、奧賽爾的拉姆貝特和西班牙的彼得等人分別使用大寫字母A、E、I、O來表示，這開辟了邏輯常項之符號表示的新紀元。之所以使用A、E、I、O來表達，一個原因是為了便于記憶，A、I分別是拉丁文單詞“affirmo”（肯定）中的第一個和第二個元音字母，E、O分別是拉丁文單詞“nego”（否定）中的第一個和第二個元音字母。（參見波波夫、斯佳日金，第212-213頁）由此可見，A、E、I、O的使用雖然實現了邏輯常項由自然語言表示法到符號表示法的跨越，但是它在某種意義上實際是自然語言的一種簡寫，帶有明顯的由自然語言表示法到符號表示法的過渡痕跡。

邏輯常項符號表示法的使用使得邏輯常項的表示擺脫了自然語言的羈絆和束縛，其涵義更加明確、無歧義。

對邏輯常項符號表示法作出巨大貢獻的應該是偉大的德國學者萊布尼茲。他提出了創建普遍語言和思維演算的構想，在此構想之下，萊布尼茲以符號“Non-A”“AB或A+B”“A∞B或A=B”等來表述“否定”“合取”“等值”等。（cf. Lenzen, pp.1-83）這開辟了使用符號來表示邏輯常項的新時代，這對后來邏輯學的發展產生了巨大的推動作用并影響深遠直至今日。

十九世紀的邏輯學家皮爾士對邏輯常項的符號表示法做了大量的推進工作。他以不同類型的符號來表達涉及的個體變元、函數和關系等，他區分了相容析取和不相容析取，并分別以不同的邏輯符號“x+, y”“x+y”來表述之。(cf. Peirce, 2010, pp.317-378)他還以符號“∑”“∏”來表達存在量詞和全稱量詞，使用∑ixi表示“xi+xj+xk+etc.”，使用∏ixi表示“xixjxk, etc.”。這些量詞可以重疊使用，如∑i∏j∑k等。(cf. Peirce, 1996, pp.608-632)

德國邏輯學家弗雷格使用其獨創的二維表意符號來表述邏輯常項。弗雷格區別觀點的表述和對觀點的斷定，他使用二維橫線表示內容短線，即以“——”表示內容短線，短線后是所表示的觀點內容。二維符號：

表示表述觀點A；二維符號：

表示斷定觀點A。增加的垂直豎線“｜”稱為斷定短線。

在此基礎上，他以內容短線下加上垂直豎線，表示否定。即以：

表示A的否定。以：

表示A蘊涵B。

通常的推理規則分離規則則表示為：由和，可以得到：。

弗雷格還引入如下符號來表示全稱量詞：。

上述符號表示“對于任一個體a，函數Ф (a)都成立。”(Frege, pp.1-82)

弗雷格邏輯常項的二維表示法使得符號同時具有語法和語義的雙重涵義，即弗雷格的符號表示法是一種形義兼具的表示法。(cf. ibid., pp.11-13)

一方面，弗雷格依據這一獨特的符號表示法，構建了第一個現代謂項邏輯演算系統，開辟了邏輯學發展的新時代，這成為了現代邏輯誕生的標志性事件；另一方面，弗雷格的符號“雖然相當精確，但因為是二維的，因此很難掌握，也不便于應用，從歷史上看，這就是造成弗雷格的《概念文字》在當時未能產生很大影響的重要原因之一”。（鄭毓信，第52-53頁）

意大利數學家皮阿諾給出了一套非常簡潔的邏輯符號表示法：用符號“a∩b”“-a”“a∪b”“a?b”“a=b”來分別表示“合取”“否定”“析取”“蘊涵”和“等值”，使用符號“x,y,……”表示全稱量詞，符號“a?x,y,……b”就表示“對任意的x,y,……，都有a蘊涵b”。

皮阿諾創制的邏輯符號給羅素以極大啟發，使得他將數學還原為邏輯的數學基礎研究工作得以順利進展。羅素和懷特?；谄ぐ⒅Z的符號系統創制了他們自己的邏輯符號系統。他們用符號“~p”“p∨q”分別表示“否定”“析取”，并以之作為初始聯結詞，定義引入其他聯結詞如“?”等。符號“p·q”“p?q”“p≡q”分別表示“合取”“蘊涵”和“等值”。在此基礎上，他們以包含符號“p∨q”和“p?q”的公式，如“p∨p?p”“(q?r)?(p∨q?p∨r)”等作為公理，構建了命題邏輯的公理系統。他以符號“(x)”“(?x)”分別表示“全稱量詞”和“存在量詞”。（cf.Russell, 1967a, pp.124-125; Russell, 1967b, pp.150-182）其析取詞符號“∨”和存在量詞符號“?x”直至今日仍然是被最廣泛使用的邏輯常項符號。

盡管一階謂詞邏輯演算是由弗雷格首創的，但是真正引起人們廣泛關注的是羅素和懷特海的《數學原理》，其中一個關鍵因素是羅素繼承并進一步改進了皮亞諾的符號表示法體系。

數學家希爾伯特和阿克曼在《數理邏輯原理》中給出了與羅素系統稍有差別的符號表示法系統，其中至今被廣泛使用的差別之一是以“X→Y”取代“p?q”?！稊道磉壿嬙怼放c其符號表示法相關的是對命題邏輯、一階謂詞邏輯和二階謂詞邏輯進行了區分，并分別給出了相應系統的邏輯符號體系。(cf. Hilbert and Ackermann)

第三種形態：形式化表示法

當符號表示法中的符號不再僅僅表達某一個確定的邏輯常項，符號的涵義僅僅由表達它的公式或者規則來唯一規定時，這時的符號表示法就實現了向形式化表示法的華麗轉身。

英國數學家、邏輯學家布爾創立了布爾代數。其中含有3個邏輯常項符號：“×”“+”“-”，這些符號的意義僅僅由表達它的公式決定：（1）X+Y=Y+X，X×Y=Y×X；（2）X×(Y+Z)=(X×Y)+(X×Z)，X+(Y×Z)=(X+Y)×(X+Z)；（3）X+0=X，X×1=X；（4）X+(-X)=1，X×(-X)=0。這些常項并不表示某一個確定的涵義，只要對這些常項所給的解釋符合上述公式的規定，都可以作為這些常項的解釋。例如，可以將“×”“+”“-”解釋為集合論中的“交”“并”“補”運算，也可以將“×”“+”“-”解釋為開關電路中的“串聯”“并聯”“開關”運算，還可以將“×”“+”“-”解釋為邏輯運算中的“合取”“析取”“否定”。布爾代數中的常項符號表示法就屬于形式化表示法。

現代邏輯各種形式系統中，所采取的基本都是語法和語義相分離的構建模式。在這些形式系統中，邏輯常項的意義唯一地由表達它的公理和變形規則決定。例如，同樣是符號“┐”和“→”，在經典命題邏輯中，其意義由公理“(┐A→B)→((┐A→┐B)→A)”等和規則“若A且A→B，則B”決定；而在直覺主義命題邏輯中，其意義則由公理“┐A→(A→B)”等和規則“若A且A→B，則B”決定。再如，對于模態聯接詞符號“□”在K、D、T、S4、S5等不同的系統中，由于表達“□”的公理不盡相同，其所表達的也是不同意義的“必然”。

綜觀邏輯常項符號表示法的產生和發展歷程，可以看出：歷史上的邏輯符號表示法經歷了由自然語言表示法到人工語言表示法的發展歷程。人工語言表示法又經歷了人工表意符號語言和形式化語言兩個階段。在世界三大邏輯發源地的早期邏輯研究中，都比較普遍地使用自然語言來研究推理關系。并且在古代中國的名辯研究、印度的因明研究中，這種傳統一直在保持著；只有在西方，邏輯表示法經歷了由自然語言到人工語言的嬗變，并進一步發展到形式化語言的新階段，也正是在西方，邏輯學獲得了持續而深入的不斷發展，并進而誕生了現代邏輯。即使同樣是人工語言，相較于一般的符號表示法，形式化表示法推動邏輯學研究實現了由基于推理實際的具體思維規律的描述性研究到基于結構變換的純粹推理模式的規范性研究的轉變。這種轉變從根本上改變了邏輯的樣貌，拓展了邏輯研究的廣度和深度。

由此可見，邏輯常項表示法的變遷，不僅決定著邏輯形態的呈現形式，而且決定著邏輯研究的持續和深入發展。對此，著名邏輯學家皮亞諾非常明確地指出，有些研究之所以還沒有滿意的結果，其“困難的根源是語言含混。”他認為，符號語言對于剖析出算術和幾何的原理，以及辨別其初始的和從屬的概念、定義、公理和定理等等都是不可少的工具，同時也是陳述那些日常語言幾乎不能表述的復雜思維過程的手段。（參見王憲鈞，第299頁）19世紀末至今現代邏輯的發展也充分地證明了這一點。

三、括號表示法

當下，國際通行的邏輯常項表示法主要有兩種，即皮阿諾、羅素等人創制的中置表示法（簡稱中置法）和波蘭邏輯學家盧卡西維茨等人發明的前置表示法（簡稱前置法）。其中，前置法又稱波蘭表示法，簡稱波蘭記法。與波蘭記法相類的還有后置法，其與前置法的差異只是順序相反。

與這兩種表示法不同，下面我們將闡述一種新的邏輯常項符號表示法——括號表示法。

括號表示法是一種僅使用一對括號來表達所有邏輯常項的符號表示法。將完全純粹的括號表示法作為一種獨立的邏輯常項表示法是作者于2019年提出的。（參見杜國平，2019年a，第7-12頁）

（一）括號表示法的源起

括號表示法的明確提出是受到舍弗（H. M. Sheffer）函數和張清宇先生相關工作的啟發。

舍弗函數將所有的命題聯接詞歸約為一個邏輯函數，即析舍或者合舍，通常用符號“|”“↓”表示。析舍和合舍的表達能力都很強，可以表達所有的命題聯接詞。受此啟發，我們考慮是否可以創制表達能力更強的邏輯常項，不僅能表達所有的命題聯接詞，而且能同時將其他邏輯常項如量詞、模態詞等進行進一步歸約為一個邏輯常項。

張清宇先生在1995年提出：“常見的經典命題邏輯系統中總是聯結詞和括號兼而有之，也就是說構造合式公式時所要求于它們的聯結作用和分組作用分別由兩類符號承擔。實際上，這兩種作用在經典命題邏輯系統中是可以由一類符號來承擔的。”基于此，他構建了只含有命題變項、命題常項“t”和左右括號“( )”的命題邏輯形式語言及其公理系統。在該文中，張清宇先生給出的括號“(AB)”相當于二元聯結詞“A^┐B”，“t”相當于零元聯接詞“1”。(參見張清宇，1995年，第40-47頁)

1996年，張清宇先生又進一步構建了不用通常的命題聯結詞和量詞的一階邏輯系統。在該文中括號“(AB)”相當于二元聯結詞“A^┐B”；附加變元的括號“(AxB)”相當于聯結詞“?x\[A^┐B\]”。（張清宇，1996年，第72-79頁）在該系統中，括號表示兩個不同的邏輯常項，其中同樣帶有零元聯接詞“T”。在該系統中，存在三個邏輯常項：零元聯接詞“T”、二元聯接詞“(AB)”和量詞“(AxB)”。

在張清宇先生上述工作的基礎上，本文作者經過數年研究于2019年提出了不再使用零元聯結詞而純粹使用括號來表示所有邏輯常項的基本想法，并正式提出括號表示法；（參見杜國平，2019年b，第56-60頁）于2020年將括號表示法由二值命題邏輯和一階量詞邏輯推廣到多值邏輯系統之中；（參見杜國平，2020年，第36-49頁）于2021年提出將括號表示法推廣到任一邏輯系統之中，并且完成了最為關鍵的一步：證明了僅僅使用一對括號就可以表達任一邏輯系統內所有的邏輯常項，正式確立了作為一種獨立的邏輯常項符號表示法的括號表示法。 

括號表示法不同于中置法和前置法，它是由中國學者提出的一種新的邏輯常項表示法；前置法由波蘭學者提出，也稱波蘭表示法，因此也可以將括號表示法稱為中國表示法。

（二）何謂括號表示法

下面我們以一階模態謂詞邏輯為例來闡明括號表示法的基本思想。

在一階模態謂詞邏輯的形式語言LP中，其他符號均與通常的系統相同，只是其中的命題聯接詞、量詞和模態詞等邏輯常項只使用一個符號，即一對左右括號“(”“)”。

與通常的合式公式形成規則類似，涉及“( )”的公式遞歸定義如下：

定義3.01  若A、B、C、D、E是公式， x是不在A、B、C中出現的自由變元，則(ABCDxE)亦是公式。

在形式語言LP中，只有一個邏輯常項，即僅僅使用括號的五元組“(ABCDxE)”。

形式語言LP中所有公式的集合記為Form(LP)。

使用克里普克的可能世界語義，公式(ABCDxE)的語義規定為：

定義3.02  設<M，W，R，H，V>是任一五元組，其中M、W是兩不相交的非空集，M是個體集，W是世界集，R是W上的二元關系，H是W到M的冪集上的映射。對于任意可能世界w、w′∈W，一個賦值V是Form(LP)與W的笛卡爾積到集合{1, 0}上的映射，即：

V:Form(LP)×W→｛1,0｝

除滿足通常的條件之外，還滿足：

V((ABCDxE), w)=1當且僅當V(A, w)=0或者V(B, w)=0；并且對于任一w′，若Rww′，則V(B, w′)=0或者V(C, w′)=1；并且對于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)(D(u), w)=0或者V(u/m)(E(u), w)=1。（參見周北海，第344-382頁）

在形式語言LP中，通常的命題聯接詞、全稱量詞和必然模態詞是通過如下一組定義僅僅借助唯一的邏輯常項符號“( )”而引入的：

定義3.03

(A) =def (AAAAxA)

［AB］ =def (ABBBxB)

【C】=def (C(C)CCxC)

「Dx」 =def (C(C)(C)(D)xD)

根據定義3.02，可以得出上述引入邏輯常項的語義：

定理3.01  設<M，W，R，H，V>是任一五元組，其中M、W是兩不相交的非空集，M是個體集，W是世界集，R是W上的二元關系，H是W到M的冪集上的映射。對于任意可能世界w、w′∈W，一個賦值V是Form(LP)與W的笛卡爾積到集合{1, 0}上的映射，則有：

（1）V((A), w)=1，當且僅當V((AAAAxA), w)=1，當且僅當V(A, w)=0或者V(A, w)=0；并且對于任一w′，若Rww′，則V(A, w′)=0或者V(A, w′)=1；并且對于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)(A(u), w)=0或者V(u/m)(A(u), w)=1，當且僅當V(A, w)=0。

（2）V([AB], w)=1，當且僅當V((ABBBxB), w)=1，當且僅當V(A, w)=0或者V(B, w)=0；并且對于任一w′，若Rww′，則V(B, w′)=0或者V(B, w′)=1；并且對于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)(B(u), w)=0或者V(u/m)(B(u), w)=1，當且僅當V(A, w)=0或者V(B, w)=0。

（3）V(【C】, w)=1，當且僅當V((C(C)CCxC), w)=1，當且僅當V(C, w)=0或者V((C), w)=0；并且對于任一w′，若Rww′，則V((C), w′)=0或者V(C, w′)=1；并且對于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)(C(u), w)=0或者V(u/m)(C(u), w)=1，當且僅當V(C, w)=0或者V(C, w)=1；并且對于任一w′，若Rww′，則V(C, w′)=1或者V(C, w′)=1；并且對于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)(C(u), w)=0或者V(u/m)(C(u), w)=1，當且僅當對于任一w′，若Rww′，則V(C, w′)=1。

（4）V(「Dx」, w)=1，當且僅當V((C(C)(C)(D)xD)=1，當且僅當V(C, w)=0或者V((C), w)=0；并且對于任一w′，若Rww′，則V((C), w′)=0或者V((C), w′)=1；并且對于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)((D)(u), w)=0或者V(u/m)(D(u), w)=1，當且僅當V(C, w)=0或者V(C, w)=1；并且對于任一w′，若Rww′，則V(C, w′)=1或者V(C, w′)=0；并且對于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)(D(u), w)=1或者V(u/m)(D(u), w)=1，當且僅當對于任何m∈M，都有V(u/m)(D(u), w)=1。

通過定理3.01可以看出，(A)、［AB］、【C】和「D」分別表達了否定、析舍、必然模態和全稱量詞等邏輯常項的語義。即5元組(ABCDxE)僅僅使用一對括號就同時表達了否定、析舍、必然模態和全稱量詞等邏輯常項。

從語法的角度看，使用通常的符號表示法(ABCDxE)實際上表達著如下一個復雜的5元邏輯常項：

(ABCDxE) ≡ {┐A∨┐B}^□{B→C}^?x{Dx→Ex}

由此可以得出：

(A)≡(AAAAxA)≡┐A

［AB］≡(ABBBxB)≡┐A∨┐B

【C】≡(C(C)CCxC)≡□C

 「Dx」≡(C(C)(C)(D)xD)≡?xDx

由此可以更加清晰地看出，僅僅使用一對括號，5元組(ABCDxE)是如何能夠同時表達否定、析舍、必然模態和全稱量詞等邏輯常項的。

進一步可知，若定義<AB>=def[A(B)]，則<AB>≡[A(B)]≡A→B。

因此，對于通常的邏輯公理和推理規則（對于由這些公理和推理規則構成的系統記為PQNK系統）使用括號表示法可以分別表示為：

Ax1  <B<CB>>

Ax2  <<B<CD>><<BC><BD>>>

Ax3  <<(B)C><<(B)(C)>B>>

Ax4  <「<BCx>」<B「Cx」>>，x不在B中出現

Ax5  <「Bx」Bt>，Bt是由將Bx中的x全部替換為t而得

K公理  <【<BC>】<【B】【C】>>

分離規則  若B，且<BC>，則C。

量化規則  若Bu，則「Bx」。

必然化規則  若B，則【B】。

根據定義3.03等可知，這些公理中的邏輯常項都僅僅是使用一對括號“(”“)”由同一個邏輯常項來表達的。

（三）括號表示法的結構特征

假設在形式語言LP*中，其他非邏輯常項符號與通常的形式語言相同，而邏輯常項符號只有僅僅使用一對左右圓括號的n元聯接詞(C1C2……Cn-1Cn)。下面我們來討論其若干結構特征。

我們使用大寫字母X、Y、Z及其加下標的形式來表示任一表達式。LP*中所有表達式的集合記為Expr(LP*)。由LP*中所有原子公式構成的集合記為Atom(LP*)，由LP*中所有公式構成的集合記為Form(LP*)。

定義3.04  Form(LP*)是滿足以下(1)-(2)的表達式集合S中的最小集：

(1)Atom(LP*)?S；

(2)若X1,X2,……,Xn-1,Xn∈S，則(X1X2……Xn-1Xn)∈S。

通常用字母A、B、C、D（或加下標）等表示任一LP*的公式；用∑、Γ、Δ等表示任一LP*的公式集合。

定理3.02  設R是關于表達式的一個性質。若：

(1) 對于任一公式A∈Atom(LP*)，均有R(A)；

(2) 對于任一公式C1, C2,……,Cn-1,Cn∈Form(LP*)，若R(C1), R(C2),……, R(Cn-1), R(Cn)，則R((C1C2……Cn-1Cn))。

那么對于任一公式A∈Form(LP*)，都有R(A)。

定義3.05  一個由形式語言LP*中符號構成的任一有窮序列稱為一個表達式；一個表達式中出現的符號數目，稱為表達式的長度。

定義3.06  兩個表達式X和Y是相等的，當且僅當它們長度相同，且依次出現的符號均相同。記為X=Y。

定義3.06  設X、Y、Z1和Z2是任意表達式，如果X=Z1YZ2，則稱Y為X的段。如果Y是X的段，且X≠Y，則稱Y是X的真段。

定義3.07  設X、Y、Z是任意表達式，如果X=YZ，則稱Y為X的初始段，Z為X的結尾段。如果Z不空，則稱Y為X的真初始段；如果Y不空，則稱Z為X的真結尾段。

定理3.03  形式語言LP*中的任一公式都是不空的表達式。

定理3.04  形式語言LP*中的任一非原子公式均以括號開頭，以括號結尾。

定理3.05  形式語言LP*中任一公式及其任一不空的真初始段中，左括號的出現比右括號多；形式語言LP*中任一公式及其任一不空的真結尾段中，右括號的出現比左括號多。

根據定理3.04和3.05可知：

定理3.06  形式語言LP*中的任一公式的真初始段和真結尾段都不是LP*的公式。

定理3.07  形式語言LP*中的任一公式僅有兩種形式之一：原子公式或者形如(C1C2……Cn-1Cn)的公式；并且在各種情形下公式所具有的形式是唯一的。

定義3.08對于公式(C1C2……Cn-1Cn)，稱Ci(1≤i≤n)為公式(C1C2……Cn-1Cn)的第i項。

定義3.09假設C1, C2,……, Cn-1, Cn∈Form(LP*)。若(C1C2……Cn-1Cn)為公式C的構成部分，則稱公式C1, C2,……, Cn-1, Cn為(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對括號( )在C中的轄域，稱Ci(1≤i≤n)為(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對括號( )所轄的第i項。

定理3.08假設C1, C2,……, Cn-1, Cn∈Form(LP*)。若(C1C2……Cn-1Cn)為公式C的構成部分，則對于(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對括號( )在C中有唯一所轄的第i項Ci(1≤i≤n)。

證明：施歸于(C1C2……Cn-1Cn)中所轄項的次序。

當i=1時，即對于(C1C2……Cn-1Cn)中所轄的第1項，假設(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對括號( )在C中所轄的第1項不是唯一的，則至少存在C11和C12均是(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對括號( )在C中所轄的第i項，且C11≠C12。

一方面，根據定義3.04公式的定義規則可知，C11和C12都是形式語言LP*中的公式。

另一方面，因為C11和C12均是(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對括號( )在C中所轄的第1項，則左括號“(”是C中的同一個符號，所以C11、C12均以C中“(”之后的同一個符號開始，因此根據定義3.07可知，或者C11是C12的真初始段，或者C12是C11的真初始段。根據定理3.06可知，或者C11不是形式語言LP*中的公式，或者C12不是形式語言LP*中的公式。

兩相矛盾，假設不成立。

因此，對于(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對括號( )在C中有唯一所轄的第1項C1。

假設原命題對于所轄項的次序小于等于i-1均成立，當所轄項的次序為i時，假設(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對括號( )在C中所轄的第i項不是唯一的，則至少存在Ci1和Ci2均是(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對括號( )在C中所轄的第i項，且Ci1≠Ci2。

一方面，根據定義3.04公式的定義規則可知，Ci1和Ci2都是形式語言LP*中的公式。

另一方面，因為Ci1和Ci2均是(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對括號( )在C中所轄的第i項，則左括號“(”是C中的同一個符號，并且其后所轄的第i-1項均相同，所以Ci1、Ci2均以C中“Ci-1”之后的同一個符號開始，因此根據定義3.07可知，或者Ci1是Ci2的真初始段，或者Ci2是Ci1的真初始段。根據定理3.06可知，或者Ci1不是形式語言LP*中的公式，或者Ci2不是形式語言LP*中的公式。

兩相矛盾，假設不成立。

因此，對于(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對括號( )在C中有唯一所轄的第i項Ci。

所以，定理成立。

這說明括號表示法的語言是無歧義的，其公式結構具有唯一性、精確性。（杜國平，2019年b,第35-41頁）

（四）與其他兩種表示法的比較

中置法將二元邏輯常項置于所聯結的兩個命題項的中間，如表示蘊涵、合取、析取、等值等的公式“C→D”“C^D”“C∨D”“C?D”。這符合人們通常對二元運算的使用直覺，因為算術中通常使用的如“+”“-”“×”“÷”等二元運算，也是將其置于兩個數的中間。但是在遇到比較復雜的公式時，二元邏輯常項的轄域可能造成誤解，中置法需要借助其他輔組符號如括號等來表示結合的先后順序，以排除其可能造成的歧義性。

波蘭表示法將邏輯常項置于所聯結命題項前面，其具體做法是分別使用“Np”“Cpq”“Kpq”“Apq”“Epq”等來表示“否定”“蘊涵”“合取”“析取”“等值”。（￡ukasiewicz, pp.22-30）使用符號“Π”來表示全稱量詞。特別值得一提的是，波蘭表示法還使用變量函子“φ(p)”來表示“φ是任一作用于p之上的一元聯結詞。”這樣符號“ΠpΠqCEpqCφpφq”就表示“對于任一命題p和q，如果p和q等值，那么φ(p)蘊涵φ(q)”，其中 “φ”可以是“任一關于p的一元真值函數”。（cf.￡ukasiewicz, pp. 92-102）波蘭記法中邏輯常項的轄域是唯一確定的，因此它不需要使用括號等符號來表示結合的先后次序。但是這種記法的優點卻背離了自然語言中所使用的構造方式，因此在讀法上十分困難。（參見威廉·涅爾、瑪莎·涅爾，第652頁）

括號表示法與波蘭表示法相對，對于邏輯常項的表示僅僅使用括號而不使用通常的聯接詞、量詞和模態詞等。因為括號表示法只使用括號，而不再使用其他邏輯常項符號，所以，若以一對括號作為一個邏輯常項表示單位，那么運用括號表示法表達的公式，其長度比中置法簡短。例如對于常見的經典命題邏輯公理系統的兩條正命題公理，在括號表示法中，如前所述可以簡單而直接地表示為：

Ax1  <B<CB>>

Ax2  <<B<CD>><<BC><BD>>

其中僅僅含有一種括號，而不再需要其他聯接詞符號。

括號表示法是左右成對使用，其轄域及其所轄順序各項非常清晰，所以，它比波蘭表示法清晰。（參見杜國平，2019年c，第21-24頁）

中置法對括號的歸約能力主要體現在舍弗(H. M. Sheffer)函數，但是未出現對命題邏輯詞、量詞和模態詞等邏輯常項的統一歸約；理論上講，波蘭表示法可以對各種邏輯常項進行歸約，但是遺憾的是歷史上亦未曾出現，實際上波蘭表示法即使使用一個符號對各種邏輯常項進行歸約，但是因為其沒有括號，雖然不會導致歧義，但是轄域的識別亦是非常困難的。另外，若使用波蘭表示法對各種邏輯常項進行歸約，必須注明其元數，否則轄域不清楚；而括號表示法的轄域就是左右兩個括號中間的項，轄域清晰。

括號表示法可以對所有的邏輯常項進行歸約，前述已經證明了這一點，這顯示出括號表示法強大的功能，某種意義上是最大的表達功能，因為它只有一對左右括號。括號表示法之所以表達能力強于其他表示法，主要是因為：在一個邏輯表達式中，需要兩類符號，一類是邏輯常項符號，一類是區分結合先后順序或層次的符號。在中置法中，前一類符號是使用“┐”“^”“→”等符號來表達的，后一類符號是使用括號來表達的；在波蘭表示法中，因為前置法中的每一個邏輯常項的元數和結合次序（從左往右）是唯一確定的，因此，其邏輯常項同時發揮著第二類符號的功能，因此前置法不需要括號，只有一類符號就足夠了。而括號表示法既發揮了括號的第二類符號功能，同時使其兼具邏輯常項的功能，因此只有一類符號就足夠了。另外因為括號內符號的元數不受限制，所以括號表示法可以通過增加元數而不斷增強其表達功能，這是波蘭表示法難以實現的，因為目前波蘭表示法中的每個邏輯常項其元數是固定的，這就限制了其對邏輯常項的歸約能力。

與其他邏輯符號表示法相比，括號表示法在使用上還具有如下特點或優勢：

1.直觀，更易接受。括號本身就有確定先后順序的結構功能，括號表示法充分利用這一點，并在此基礎上再賦予括號以邏輯函數功能，便于學習，容易形成代入感，而不會像特設的、專門的人造符號那樣讓初學者望而生畏，并需要死記硬背。（參見杜國平，2021年a，第52-56、78頁）

2.更加自然。常用的邏輯符號“┐”“^”“∨”“→”“?”等是人為定制的，與之相比，括號是常用書面語言中本身就有的，人們使用起來比較習慣。

3.更加方便，便于錄入。括號在人們使用的語言中更常用，不同的自然語言、不同的專業學科語言中基本上都使用括號。

4.靈活。作為形式語言符號的括號既可以表示一元聯結詞(A)，也可以表示二元聯結詞(AB)、三元聯結詞(ABC)、四元聯結詞(ABCD)、……，它可以表示任意n元命題聯結詞；還可以直接使用慣常的記法表示量詞(x)A(x)、各類模態詞［A］、【B】等，表達非常靈活。其意義僅由表達它的語法公理或者語義定義而確定。（參見杜國平，2021年b，第53-61頁）

5.描述能力強。通過引入不同括號如“( )”“［］”“<>”“【】”“〈〉”“{}”“「」”“『』”“〖〗”“(())”等來表示不同元數的不同連接詞，還可以進一步增強括號表示法的描述能力。為了增加可識別性，還可以約定以單線括號如“( )”“［］”等表示一元聯結詞，以雙線括號如“〖〗”“(())”等表示二元聯結詞，以粗線括號如“【】”“”等表示模態詞等。

6.整體性。其作用的對象被包括在一對括號之內，轄域非常清晰。

中置法和波蘭表示法都是分離表示法。括號表示法與之不同，它是一種整體表示法，在設計思想上是一種完全不同的符號表示法。之所以稱其他兩種符號表示法為分離表示法，是因為中置法將運算符號或聯接詞左右的兩個符號斷開，當其作為一個單元形成更復雜的公式時（如p∨q→r），需要括號或者其他規定來確定運算的先后順序；波蘭表示法雖然運算順序是明確的，但是因為相互臨近的兩個符號是分置的，當公式足夠復雜時（如CKCNpCpqrs），確立運算順序也非易事。反之，括號表示法中因為括號是兩個成對同時使用的，并且它將所作用的其他符號包含其中，使其和作用的符號作為一個整體連接在一起，轄域清楚，并且結合順序和運算順序非常明確。（參見杜國平，2020年，第36-49、167頁）

三種表示法的基本情況對照如下：

四、余論

基于易辨識、可讀性等方面的要求，括號表示法還可以添加一些輔助性的修飾，使其表達更加清晰明白。

一種辦法是括號的加標表示法。如(nDn)以左括號加數字上標表示邏輯常項轄域的左起，以右括號加相同數字下標表示邏輯常項的右起；不同數字的上下標表示若干不同的邏輯常項或處于不同位置的邏輯常項。

加標括號表示法甚至可以不用括號（此時可以直接稱其為加標表示法），直接用加不同數字的上下標來表達各種邏輯常項

在實際運用中，可將不同符號表示法的優點結合起來使用。例如，因為一元聯接詞的轄域清晰，可保留中置法中已經習慣的常用符號如否定符“┐”等；而其他多元邏輯常項，則可使用括號表示法中的符號，以發揮其轄域清晰、表達簡練的特點。

猶如天文學家借助于各種望遠鏡觀察宇宙，生物學家利用顯微鏡觀察生物結構，邏輯學家則借助符號語言進行純粹形式的思想創新。形式語言是現代邏輯學家研究推理問題不可或缺的工具，而邏輯常項是形式語言的核心表達要素之一，恰當的邏輯常項表示法可以為邏輯研究提供更加適用、更加高效的研究工具。不僅如此，從某種意義上說，各種不同的邏輯系統實際上是關于不同邏輯常項的邏輯，邏輯發展史也可以看做邏輯常項的研究史。因此，邏輯常項的符號表示法也應該成為邏輯研究的核心內容之一。

邏輯學的創新發展離不開邏輯符號表示法的不斷創新，但是長期以來，關于邏輯符號表示法的研究相對缺乏，尤其是系統性的歷史考察和總結尚沒有得到學界的高度重視，相關研究亟待加強。

現代理論和技術的進步為邏輯符號表示法的進步提供了更加廣闊的發展空間，但是近百余年來，邏輯符號表示法鮮有進步和創新。邏輯符號表示法可以充分利用當代科技發展的有利條件，嘗試探索更加適用的符號表示方法。例如，對于模態邏輯中的模態算子□、◇，至少可以嘗試以下幾種表示法：

(1) 以線條的粗細來識別不同的模態：將線條加粗以AB來表達必然命題□(AB)，以(AB)來表達實然命題(AB)，將線條虛化以AB來表達可能命題◇(AB)。

(2) 以線條的顏色來識別不同的模態。

(3) 以線條的背景來識別不同的模態。

以此來表示推理關系，或許更加生動。

在此基礎上，進一步深入研究相關表示法的特點，以利于推理理論以及相關理論的創新研究和應用研究。例如，上述方法至少在可視化、機器識別等方面有其獨特的應用價值。

邏輯學本是非常抽象的學問，但是利用現代技術，完全可以對其符號表示法進行創新，使得理性思考不再永遠板著面孔。理性思考完全可以做到既抽象純粹，又形象靈動！

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